Question

若数a能表示成两个自然数（允许相同）的平方和，则称a为“好数”．
（1）试确定，在前1，2，3…9，10中，有多少个好数？
（2）试确定，在前1，2，3…99，100中，有多少个好数？

Answer

（1）直接分析1至10这十个数中的平方数即可找出好数，不漏掉即可；
（2）按照规律分段讨论平方数，即02，12，22，92，102 中的每一个数k2可表示成k2+02的形式，其好数个数；
12，22，62，72中的每对数（可相同）的和不大于100，计算其好数个数；82+x2和92+x2的形式其中好数的个数，然后再考虑重复的情况．
【解析】
（1）在1，2，3…9，10中的平方数是：1=12+02，2=12+12，4=22+02，5=12+22，8=22+22，9=32+02，10=12+32，有7个．
（2）不超过100的平方数是：02，12，22，…，92，102．
显然，12，22，…，92，102中的每一个数k2可表示成k2+02的形式，这种数有10个．
而12，22，…，62，72中的每对数（可相同）的和不大于100，这种数有个（其中，x2+x2的形式的数有7个，x2+y2（x≠y）形式的数有个）
其次，82+x2（x=1，2，…，5，6）的形式的数有6个，
92+x2（x=1，2，3，4）的形式的数有4个．
再考虑重复情况，不超过20且能表示为两个不同正整数的平方和的数有5，10，13，17，20，该组中的每个数与5的积为：25=32+42，25=02+52，50=12+72，50=52+52，65=12+82，65=42+72，85=22+92，85=62+72，100=62+82，100=102+02．都可用两种方式表示为平方和，各被计算了两次，共计5次重复．
所以满足条件的好数共有：10+28+6+4-5=43（个）．