Question

如图，AB=2AC，BD=2AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC=BD，AD=BD，设BD=m，求BC的长．

Answer

（1）由BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上可得出∠DBA=∠CAE，再由AB=2AC，BD=2AE即可得出结论；
（2）由AC=BD，AD=BD，BD=m可知AB=2AC=2BD=2m，AD=BD=，在RtABD中利用勾股定理可用m表示出AB的值，由（1）中△ABD∽△CAE可知∠E=90°，进而用m表示出AE、CE的长，再利用勾股定理即可求出BC的长．
证明：（1）∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，
∴∠DBA=∠CAE，（1分）  
又∵==2，（2分）
∴△ABD∽△CAE；（1分）

（2）∵AB=2AC=2BD=2m，AD=BD=，
∴AD2+BD2=3m2+m2=4m2=AB2，
∴∠D=90°（2分）
∵△ABD∽△CAE，
∴∠E=∠D=90°，
∵AE=BD=，EC=AD=，AB=2BD=2m，
∴在Rt△BCE中，BC2=（AB+AE）2+EC2=（2m+m）2+（m）2=7m2，
∴BC=m．（4分）