Question

已知：如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A，B两点，圆心O₁在⊙O₂上，过B点作两圆的割线CD，射线DO₁交
AC于E点．求证：DE⊥AC．

Answer

方法一：首先连接AB、作圆O1的直径AF，连接FB，利用圆周角定理得出∠BAF+∠AFB=90°，进而求出∠C+∠D=90° 即可．
方法二：首先连接AD，AO1，CO1，BO1；由于A，B，D，O1四点共圆，根据圆内接四边形的性质知可证得△CDO1≌△ADO1，则AD=CD，DE为等腰△ACD的顶角平分线；由等腰三角形的性质：顶角的平分线与底边上的高重合，进而得出答案．
方法一：
证明：如图：
连接AB、作圆O1的直径AF，连接FB，
∵AF为直径
∴∠BAF+∠AFB=90°
∵∠C=∠F，∠FAB=∠D
∴∠C+∠D=90°
∴DE⊥AC
方法二：
证明：如图：

连接AD，AO1，CO1，BO1；
∵AO1=BO1，
∴弧AO1=弧BO1，∠ADO1=∠BDO1；
在⊙O1中，CO1=BO1，
∴∠O1CB=∠O1BC；
∵A，B，D，O1四点共圆，
∴∠O1BC=∠O1AD=∠O1CB；
∵O1D=O1D，∠O1AD=∠O1CB，∠ADO1=∠BDO1，
∴△CDO1≌△ADO1；
∴AD=CD，∠ADO1=∠CDO1；
∴DE⊥AC．