Question

已知：如图，正八边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈内接于半径为R的⊙O．
（1）求A₁A₃的长；
（2）求四边形A₁A₂A₃O的面积；
（3）求此正八边形的面积S．

Answer

（1）根据正多边形中心角求法得出∠A3OA2=∠A2OA1==45°，进而得出∠A3OA1=90°，再利用勾股定理求出A3A1；
（2）利用已知得出OA2⊥A1A3，得出四边形A1A2A3O的面积为：OA2•A3B+OA2•A1B进而求出即可；
（3）利用（2）中所求即可得出正八边形的面积S为：×R2得出答案即可．
【解析】
（1）∵正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8内接于半径为R的⊙O．
∴∠A3OA2=∠A2OA1==45°，
∴∠A3OA1=90°，
∵OA3=OA1=R，
∴A3A1===R；

（2）∵∠A3OA2=∠A2OA1=45°，
∴=，
∴OA2⊥A1A3，
四边形A1A2A3O的面积为：OA2•A3B+OA2•A1B=OA2•A1A3=R•R=R2；

（3）∵四边形A1A2A3O的面积为：R2，∠A3OA1=90°，
∴正八边形的面积S为：×R2=2R2．