Question

如图，抛物线y=ax²+bx-1与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过（-3，12a），对称轴是直线x=1．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使△POC的面积和△PBC的面积比为1：5？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，要使以M、N、O、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点N的坐标．

Answer

（1）利用对称轴x=-=1，以及将（-3，12a）代入y=ax2+bx-1，即可联立两式求出a，b的值；
（2）利用已知可以求出△POC的面积，再利用△POC的面积和△PBC的面积比为1：5得出△PBC的面积，进而求出PD的长，即可得出P点坐标；
（3）利用平行四边形的性质结合图形得出若以OB为一边以及以OB为对角线时，分别得出N点坐标即可．
【解析】
（1）对称轴x=-=1①，
将（-3，12a）代入y=ax2+bx-1得，12a=9a-3b-1②，
联立①②得：
，
解得：，
抛物线对应的函数表达式为：y=x2-x-1；

（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E，
当x=0时，y=-1，则C的坐标为（0，-1），即CO=1，
y=0时，0=x2-x-1；
（x+1）（x-3）=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵P在直线x=1上，△POC的面积和△PBC的面积比为1：5，
∴S△POC=×CO×PE=×1×1=，S△PBC=，
连接BC，交x=1于D，
∵S△PBC=×PD×BO，
∴=×DP×3，
∴PD=，
设BC：y=k1x-1，
∴3k1-1=0，
∴k1=，
∴y=x-1，
当x=1时，y=-，则D点坐标为：（1，-），
∵PD=，
∴P点可能在D点上面，此时P点坐标为（1，1）；也可能在D点下面，此时P点坐标为（1，-）；
∴存在P，P点坐标为（1，1）或（1，-）；

（3）①如图2，若以OB为一边，设M（1，y），则N（x，y），
又|MN|=|x-1|，|OB|=3，
∵四边形MNOB为平行四边形，
∴|MN|=|OB|，
∴|x-1|=3，
∴x-1=±3，
∴x=4或-2，
∴N1（4，），N2（-2，）；
②如图3，若以OB为对角线，过点N作NF⊥OB于点F，直线x=1交OB于点E，
∴∠OEM=∠BFN，
∵平行四边形OMBN，
∴OM∥BN，OM=BN，
∴∠MOE=∠NBF，
即，
∴△OEM≌△BFN（AAS），
∴OE=BF=1，
∴OF=2，
∴当x=2时，y=-1，
∴N3（2，-1）．
综上所述，N点坐标为：（4，）或（-2，）或（2，-1）．