Question

已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC，AB=8cm，则△COD的面积为（ ）

A．cm²
B．cm²
C．cm²
D．cm²

Answer

由已知∠ABD=30°，可得∠CAB=30°，又因为AC⊥BC，根据直角三角形中30度所对的角是斜边的一半可求得BC，AC，的长；进而求出三角形ACB的面积，再求出三角形COB的面积，所以求出三角形AOB的面积，又因为AB∥CD所以△AOB∽△DOC，利用相似的性质：面积之比等于相似比的平方即可求出△COD的面积．
【解析】
∵梯形ABCD是等腰梯形，CD∥AB，
由SAS可证△DAB≌△CBA，
∴∠CAB=∠DCA=30°，
∵∠CAB=30°，又因为AC⊥BC，
∴∠DAB=∠CBA=60°，
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴CD=AD=BC=4cm，
∴AC2=AB2-BC2，
∴AC=4cm，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD=4cm，
∴S△ABC=×4×4=8cm2，
设DO为x，则CO=x，则AO=BO=（4-x）cm，
在Rt△COB中，CO2+BC2=BO2，
即：x2+42=（4-x）2
∴D0=cm，
∴S△ADO=××4=，
∴S△AOB=S△ABC-S△ADO=
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴（）2=
∴S△DOC=，
故选A．