Question

已知：如图，⊙O的直径AB=8cm，P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC．
（1）若∠ACP=120°，求阴影部分的面积；
（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，∠CMP的大小是否发生变化若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的度数．

Answer

【解析】
（1）连接OC．PC为⊙O的切线，由切线的性质知，∠PCO=90度．由已知∠ACP=120°，则有∠ACO=∠ACP-∠OCP=30°，由等边对等角知，∠A=∠ACO=30度．由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和知，∠BOC=60°，由正切的概念知PC=OCtan60°=4，则阴影部分的面积可由△OCP的面积减去扇形OCB的面积．
（2）由（1）知∠BOC+∠OPC=90°，由角的平分线的性质知∠APM=∠APC，由圆周角定理知，∠A=∠BOC，
∴∠PMC=∠A+∠APM=（∠BOC+∠OPC）=45°．
【解析】
（1）连接OC．
∵PC为⊙O的切线，
∴PC⊥OC．
∴∠PCO=90度．
∵∠ACP=120°
∴∠ACO=30°
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO=30度．
∴∠BOC=60°
∵OC=4
∴
∴S阴影=S△OPC-S扇形BOC=；

（2）∠CMP的大小不变，∠CMP=45°
由（1）知∠BOC+∠OPC=90°
∵PM平分∠APC
∴∠APM=∠APC
∵∠A=∠BOC
∴∠PMC=∠A+∠APM=（∠BOC+∠OPC）=45°．