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设函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数) (1)写出其中的两个特殊函数,...

设函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数)
(1)写出其中的两个特殊函数,使它们的图象不全是抛物线,并在同一直角坐标系中,用描点法画出这两个特殊函数的图象;
(2)根据所画图象,猜想出:对任意实数k,函数的图象都具有的特征,并给予证明;
(3)对任意负实数k,当x<m时,y随着x的增大而增大,试求出m的一个值.
(1)令k=0或1,分别得到两个特殊函数,画出图象即可; (2)猜想:不论k取何值,函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象必过定点(0,1),(-2,-1).由解析式变形,得y=k(x2+2x)+(x+1),可知当x2+2x=0,即x=0或-2时,函数值与k的取值无关,此时y=1或-1,可得定点坐标; (3)只求m的一个值即可.当k<0时,抛物线对称轴为直线x=-,在对称轴左侧,y随x的增大而增大,根据题意,得m≤-,而当k<0时,-=-1->-1,可确定m的范围,在范围内取m的一个值即可. 【解析】 (1)如两个函数为y=x+1,y=x2+3x+1, 函数图形如图所示; (2)不论k取何值,函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象必过定点(0,1),(-2,-1), 且与x轴至少有1个交点.证明如下: 将x=0时代入函数中解出y=1,x=-2时代入函数中解出y=-1. 所以函数的图象必过定点(0,1),(-2,-1). 又因为当k=0时,函数y=x+1的图象与x轴有一个交点; 当k≠0时, ∵△=(2k+1)2-4k=4k2+1>0,所以函数图象与x轴有两个交点. 所以函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象与x轴至少有1个交点. (3)只要写出m≤-1的数都可以. ∵k<0, ∴函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象在对称轴直线x=-的左侧,y随x的增大而增大. 根据题意,得m≤-,而当k<0时,-=-1->-1, 所以m≤-1.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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