Question

在△ABC中，点D、E、F顺次在边AB、BC、CA上，设AD=p•AB，BE=q•BC，CF=r•CA，其中p、q、r是正数，且使，，则S_△DEF：S_△ABC=    ．

Answer

首先根据三角形面积关系求得S△ADF=（1-r）•p•S△ABC，S△BDE=（1-q）•r•S△ABC，S△EFC=（1-p）•q•S△ABC，又由（p+q+r）2=（p2+q2+r2）+2（pr+qr+pq），p+q+r=，p2+q2+r2=，则可求得答案．
【解析】
如图：
∵AD=p•AB，BE=q•BC，CF=r•CA，
∴S△ADF=（1-r）•p•S△ABC，S△BDE=（1-q）•r•S△ABC，S△EFC=（1-p）•q•S△ABC，
∴S△DEF=S△ABC-S△ADF-S△BDE-S△EFC=[1-（1-r）•p-（1-q）•r-（1-p）•q]•S△ABC=[1-（p+q+r）+（pr+qy+pq）]•S△ABC，
∵（p+q+r）2=（p2+q2+r2）+2（pr+qr+pq），p+q+r=，p2+q2+r2=，
∴pr+qr+pq=[（p+q+r）2-（p2+q2+r2）]=，
∴S△DEF=（1-+）•S△ABC=S△ABC，
∴S△DEF：S△ABC=16：45．
故答案为：16：45．