Question

如图，I是Rt△ABC（∠C=90°）的内心，过I作直线EF∥AB，分别交CA、CB于E、F．已知EI=m，IF=n，则用m、n表示S_△ABC=    ．

Answer

过I分别作三边的垂线，垂足为D、F、G，由△ABC∽△EIG∽△IFH，得到相似比，表示三角形的两直角边a、b，由勾股定理求内切圆半径r，根据ab=2S△ABC=r（a+b+c），求斜边c，根据S△ABC=ab求解．
【解析】
如图，过I分别作三边的垂线，垂足为D、F、G，设AB=c，BC=a，AC=b，ID=IH=IG=r，
由△ABC∽△EIG∽△IFH，得=，=，
解得a=，b=，
由勾股定理，得c2=a2+b2，得1=+，
解得r=，
又ab=2S△ABC=r（a+b+c），
∴=r（++c），
解得c=m+n+=m+n+，
∴S△ABC=ab=
=（）2（m+n+）2
=．
故答案为：．