Question

如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点，（D不与A、B 重合）以DA为一边作∠DAC，使∠DAC=∠B．
（1）求证：AC是半圆O的切线；
（2）过点O作OE∥BD交AC于E，交AD于F，且EF=4，AD=6，求BD的长．

Answer

（1）欲证AC是半圆O的切线，只需证明∠CAB=90°即可；
（2）由相似三角形的判定定理AA可以判定△AEF∽△BAD；然后根据相似三角形的对应边成比例求得BD的长即可．
【解析】
（1）∵AB是半圆直径，
∴∠BDA=90°．．
∴∠B+∠DAB=90°；
又∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠CAB=90°，
∴AC是半圆O的切线；

（2）如图，∵OE∥BD，∠D=90°
∴OE⊥AD，
∴∠AFE=∠D=∠AFO=90°，
AF=AD=3，
又∵∠B=∠DAE，
∴△AEF∽△BAD．
∴，即，
∴．