Question

如图，⊙M的圆心在x轴上，与坐标轴交于A（0，）、B（-1，0），抛物线经过A、B两点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设抛物线的顶点为P．试判断点P与⊙M的位置关系，并说明理由；
（3）若⊙M与y轴的另一交点为D，则由线段PA、线段PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的面积是多少？

Answer

（1）将A（0，）、B（-1，0）两点坐标代入抛物线y=-x2+bx+c中，解方程组可求b、c，确定抛物线解析式；
（2）连接MA，根据A、B两点坐标，由勾股定理求圆的半径，利用配方法求P点的纵坐标并与半径比较，判断点P与⊙M的位置关系；
（3）由于PM∥y轴，故S△APD=S△AMD，问题可转化为求扇形AMD的面积．
【解析】
（1）将A（0，）、B（-1，0）两点坐标代入抛物线y=-x2+bx+c中，得
，
解得，
∴y=-x2+x+；

（2）连接MA，设⊙M的半径为R，根据A、B两点坐标可知，OA=，OM=R-1
在Rt△OMA中，由勾股定理得，OA2+OM2=AM2，
即2+（R-1）2=R2，
解得R=2，
∵y=-x2+x+=-（x-1）2+，
∴PM=＞2，即P点在⊙M外；

（3）∵PM∥y轴，
∴S△APD=S△AMD，
由线段PA、线段PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的面积即为扇形AMD的面积，
∵OM=1，AM=2，
∴∠AMO=60°，∠AMD=120°
∴S扇形AMD==．