Question

如图：直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=CD，O是BD的中点，E是CD延长线上一点，作OF⊥OE交DA的延长线于F，OE交AD于H，OF交AB于G，交CD于K，以下结论：
①OE=OF；②OH=FG；③DF-DE=BD；④四边形OHDK的面积是△BCD面积的一半，
其中结论正确的是（ ）

A．②③④
B．①②③
C．①②④
D．①③④

Answer

连接OC，根据题意，推出OC=OD=OB，∠OCK=∠ODH=45°，∠DOH=∠COK，得△DOH≌△COK，得OH=OK，即可推出△FOH≌△EOK，即可①OE=OF，然后根据结论①，推出△FOD≌△EOC，得CE=DF，由等腰直角三角形BCD，得CD=BD，即可推出结论③，结合图形S△BCD=S△OCK+S△DOK，结合△DOH≌△COK，即可推出结论④．
【解析】
∵O为BD中点，BC=CD，BC⊥CD，
∴OC=OD=OB，∠OCK=∠ODH=45°，OC⊥BD，
∵EO⊥FO，
∴∠DOH=∠COK，
∴△DOH≌△COK，
∴OH=OK，∠EKO=∠FHO，
∴△FOH≌△EOK，
∴OE=OF，
∵△DOH≌△COK，
∴∠EOD=∠KOC，
∴∠FOD=∠EOC，
∵∠OCK=∠ODH=45°，OC=OD，
∴△FOD≌△EOC，
∴CE=DF，
∵CD=BD，
∴CE-DE=BD；
∴DF-DE=BD；
∵△DOH≌△COK，
∵S△BOC=S△DOC，
∴S四边形OHDK=S△OCK+S△DOK=S△BCD．
故选D．