Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）与坐标轴交于点A、B、C且OA=1，OB=OC=3．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）写出顶点坐标和对称轴方程；
（3）点M、N在y=ax²+bx+c的图象上（点N在点M的右边），且MN∥x轴，求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径．

Answer

（1）由OA=1，OB=OC=3，可知三点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），用待定系数法求得解析式；
（2）把解析式变换成顶点式，写出坐标；
（3）由（2）知，对称轴为x=1，当MN在x轴下方时，设圆半径为r，则点N的坐标为（1+r，-r），代入解析式求得r的值，同理求得当MN在x轴上方时r的值．
【解析】
（1）依题意A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）分别代入y=ax2+bx+c，
解方程组得所求解析式为y=x2-2x-3；

（2）y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴顶点坐标（1，-4），对称轴x=1；

（3）设圆半径为r，当MN在x轴下方时，N点坐标为（1+r，-r），
把N点代入y=x2-2x-3得，
同理可得另一种情形，
∴圆的半径为或．