Question

在图1、图2中，线段AC=CE，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点，四边形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中点是M．
如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，容易证明FM=MH，FM⊥HM；现将图1的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，判断△FMH的形状，并证明你的结论．

Answer

连接BM，MD，MF交AC于P，根据三角形中位线定理求出MD∥BC，MD=AC=BC=BF，MB∥CD，MB=CE=CD=DH，得出平行四边形BCDM，求出∠CBM=∠CDM，根据SAS证△FBM≌△MDH，推出FM=MH，∠FMB=∠MHD，∠BFM=∠HMD，即可求出∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠APM-∠BFM=∠FBP=90°，即可得出答案．
△FMH是等腰直角三角形，
证明：连接BM，MD，MF交AC于P，
∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，
∴MD∥BC，MD=AC=BC=BF，
MB∥CD，MB=CE=CD=DH，
∴四边形BCDM是平行四边形，
∴∠CBM=∠CDM，
∵∠FBP=∠HDC=90°，
∴∠FBM=∠MDH，
∵FB=DM，BM=DH，
∴△FBM≌△MDH，
∴FM=MH，∠FMB=∠MHD，∠BFM=∠HMD，
∴∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠APM-∠BFM=∠FBP=90°，
∴△FMH是等腰直角三角形．