Question

如下图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于E点，AD⊥DC于D点．
求证：（1）DE∥BC；（2）．

Answer

延长AD、AE分别交BC于F、G；△ABG中，BE是∠ABG的角平分线，且是底边AG的高，易证得△ABG是等腰三角形，则E是AG中点；同理可知D是AF的中点；那么DE即为△AFG的中位线，由此证得DE∥BC，DE=FG；而FG=BG+CF-BC=AB+AC-BC，由此可证得（2）的结论．
证明：（1）延长AD、AE，交BC于F、G；
∵BE⊥AG，
∴∠AEB=∠BEG=90°；
∵BE平分∠ABG，
∴∠ABE=∠GBE；
∴∠BAE=∠BGE；
∴△ABG是等腰三角形；
∴AB=BG，E是AG中点；
同理可得：AC=CF，D是AF中点；
∴DE是△AFG的中位线；
∴DE∥BC．

（2）由（1）知DE是△AFG的中位线，
∴DE=FG；
∵FG=BG+CF-BC，且AB=BG，AC=CF；
∴FG=AB+AC-BC，即DE=（AB+AC-BC）．