Question

已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S_△APD+S_△APB=1+；⑤S_{正方形ABCD}=4+．其中正确结论的序号是（ ）

A．①③④
B．①②⑤
C．③④⑤
D．①③⑤

Answer

①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积；④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可．
【解析】
①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∴△APD≌△AEB；
故此选项成立；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED；
故此选项成立；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE===，
∴BF=EF=，
故此选项不正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP=，
又∵PB=，
∴BE=，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=，
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP=S正方形ABCD-×DP×BE=×（4+）-××=+．
故此选项不正确．
⑤∵EF=BF=，AE=1，
∴在Rt△ABF中，AB2=（AE+EF）2+BF2=4+，
∴S正方形ABCD=AB2=4+，
故此选项正确；
故选D．