Question

如图，一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

如图，由△BEF的三边为3、4、5，根据勾股定理逆定理可以证明其是直角三角形，利用正方形的性质可以证明△FDE∽△ECB，然后利用相似三角形的性质可以得到DE：CB=3：4，设DE为3x，则BC是4x，根据勾股定理即可求出x2=，也就求出了正方形的面积．
【解析】
如图，∵△BEF的三边为3、4、5，而32+42=52，
∴△BEF为直角三角形，
∴∠FEB=90°，而四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠C=90°，
∴△FDE∽△ECB，
∴DE：CB=EF：EB，即DE：CB=3：4，
∴设DE为3x，则BC是4x，
∴EC是x，
∵三角形EBC为直角三角形，
∴EB2=EC2+BC2，
∴16=x2+（4x）2，
∴x2=，
∵S正方形ABCD=（4x）2=cm2．
故选D．