Question

已知：对于实数a，只有一个实数值x满足等式，试求所有这样的实数a的和．

Answer

方程两边都乘以最简公分母（x+1）（x-1）把分式方程化为整式方程，再求出根的判别式△，然后分①△=0时，方程有两个相等实数根，②△＞0时，方程有有一个根是分式方程的增根，另一个根不是方程的增根，分别求出a的值，然后相加即可得解．
【解析】
方程两边都乘以（x+1）（x-1）得，（x+1）2+（x-1）2+2x+a+2=0，
整理得，2x2+2x+a+4=0，①
△=b2-4ac=22-4×2×（a+4）=-8a-28，
（1）当方程①有两个相等的实数根时，△=0，
即-8a-28=0，
解得a1=-，
此时方程①有一个根x=-，验证可知x=-的确满足题中的等式，
（2）当方程①有两个不相等的实数根时，△＞0，
即-8a-28＞0，
解得a＜-，
（i）若x=1是方程①的根，则原方程有增根x=1，代入①得，2+2+a+4=0，
解得a2=-8，
此时方程①的另一个根x=-2，它的确也满足题中的等式；
（ii）若x=-1是方程①的根，则原方程有增根x=-1，代入①得，2-2+a+4=0，
解得a3=-4，
此时方程①的另一个根x=0，验证可知x=0的确满足题中的等式；
因此a1=-，a2=-8，a3=-4即为所求，
a1+a2+a3=--8-4=-．
故答案为：-．