Question

如图，AB为⊙O的直径，C在⊙O上，并且OC⊥AB，P为⊙O上的一点，位于B、C之间，直线CP与AB相交于点Q，过点Q作直线与AB垂直，交直线AP于R．求证：BQ=QR．

Answer

连接BR、BP，由圆周角定理知∠APB=∠AQR=90°，由此可得B、P、R、Q四点共圆，由圆周角定理知∠BPQ=∠BRQ；而∠BPQ是∠CPB的补角，由此可求得∠BPQ=45°，即∠BRQ=45°，可得△BQR是等腰Rt△，由此得证．
证明：如图，连接PB、BR，则∠APC=45°，∠APB=90°；
故∠BPQ=180°-∠APC-∠APB=45°；
又∵∠APB=90°=∠BQR，
∴B、Q、R、P四点共圆；
于是∠BRQ=∠BPQ=45°，
从而△BQR为等腰直角三角形；
∴BQ=QR．