Question

在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示．已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为（-3，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）求△AOB的面积．

Answer

（1）过A作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D．得出△ACO≌△ODB，那么B的横坐标就是A点纵坐标的绝对值，B的纵坐标就是A点的横坐标的绝对值，由此可得出B的坐标．
（2）已知了A，O的坐标，根据（1）求出的B点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）根据A、B、O点的坐标，求出S梯形ACDB、S△AOC、S△BOD，相减即为△AOB的面积．
【解析】
（1）如图，作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D．
则∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°．
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°
∴∠OAC=∠BOD．
又∵AO=BO，
∴△ACO≌△ODB．
∴OD=AC=1，DB=OC=3．
∴点B的坐标为（1，3）．

（2）抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为：y=ax2+bx．
将A（-3，1），B（1，3），O（0，0）代入y=ax2+bx，得，
解得．
故所求抛物线的解析式为y=x2+x．

（3）S△AOB=S梯形ACDB-S△AOC-S△BOD
=×（1+3）×（1+3）-×3×1-×1×3
=8--
=8-3
=5．