Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以每秒2cm的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以每秒1cm的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）设四边形AFEC的面积为y，用含t的代数式表示y，并探究何时四边形AFEC的面积最小．

Answer

（1）由∠D=∠ACB，∠ACD=∠BAC可得证；
（2）运用相似三角形性质计算；
（3）四边形AFEC的面积=△ABC的面积-△BEF的面积．
【解析】
（1）∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC．
∵AC⊥BC，
∴∠D=∠ACB=90°．
∴△ACD∽△BAC；

（2）在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，
∴AC=8．
∵△ACD∽△BAC，
∴=．
∴DC===（cm）；

（3）
作CM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N．
∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，
∴CM===．
∵CM∥EN，
∴=，
∴EN==．
S四边形AFEC=S△ABC-S△BEF
=×6×8-×（10-2t）×t
=24-4t+t2，
即 y=t2-4t+24．（0＜t＜5）
∵＞0，∴y有最小值．
当t=-=2.5时，y值最小．