Question

如图，直线AB过x轴上的点B（4，0），且与抛物线y=ax²交于A、C两点，已知A（2，2）．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）如果抛物线上有点D，使S_△OBD=S_△OAC，求点D的坐标．

Answer

（1）已知直线AB经过A（2，0），B（1，1），设直线表达式为y=ax+b，可求直线解析式；
（2）将A（2，2）代入抛物线y=ax2可求抛物线解析式；
（3）已知A，B，C三点坐标，根据作差法可求△OAC的面积，在△DOB中，已知面积和底OB，可求OB上的高，即D点纵坐标，代入抛物线解析式求横坐标，得出D点坐标．
【解析】
（1）设直线表达式为y=ax+b，
∵A（2，2），B（4，0）都在y=ax+b的图象上，
∴，
∴，
∴直线AB的函数解析式为：y=-x+4，

（2）∵点A（2，2）在y=ax2的图象上，
∴a=，
∴抛物线的函数解析式为y=x2．

（3）∵，
解得：或，
∴点C的坐标为（-4，8），
设D（x，x2），
∴S△OBD=|OB|•|yD|=×4וx2=x2．
∴S△AOC=S△BOC-S△OAB=×4×8-×4×2=16-4=12，
∵S△OBD=S△OAC，
∴x2=12，
∴x=±2，
∴D点坐标为（2，6）或（-2，6）．