Question

已知：抛物线y=x²+（a-2）x-2a（a为常数，且a＞0）．
（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；
（2）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴的交点为C．当时，求抛物线的解析式．

Answer

（1）令抛物线的y=x2+（a-2）x-2a的y值等于0，证所得方程x2+（a-2）x-2a=0的△＞0即可；
（2）令抛物线的解析式中y=0，通过解方程即可求出A、B的坐标，进而可得到OA的长；易知C（0，-2a），由此可得到OC的长，在Rt△OAC中，根据勾股定理即可得到关于a的方程，可据此求出a的值，即可确定抛物线的解析式．
【解析】
（1）证明：令y=0，则x2+（a-2）x-2a=0
△=（a-2）2+8a=（a+2）2；
∵a＞0，
∴a+2＞0
∴△＞0
∴方程x2+（a-2）x-2a=0有两个不相等的实数根；
∴抛物线与x轴有两个交点；

（2）令y=0，则x2+（a-2）x-2a=0，
解方程，得x1=2，x2=-a
∵A在B左侧，且a＞0，
∴抛物线与x轴的两个交点为A（-a，0），B（2，0）．
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴C（0，-2a）（3分）
∴AO=a，CO=2a；
在Rt△AOC中，AO2+CO2=（2）2，即a2+（2a）2=20，
可得a=±2；
∵a＞0，
∴a=2
∴抛物线的解析式为y=x2-4．