Question

已知：如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴，y轴分别相交于点A（-1，0），B（0，3）两点，其顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E．求四边形ABDE的面积；
（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由．

Answer

（1）利用待定系数法将A（-1，0），B（0，3）两点代入解析式求出即可；
（2）根据二次函数的对称性即可得出E点坐标，利用四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE，求出即可；
（3）利用勾股定理求出BD，BE，DE，得出△BDE是直角三角形，再利用，得出答案即可．
【解析】
（ 1）由已知得：，
解得：c=3，b=2，
∴抛物线的线的解析式为y=-x2+2x+3；

（2）由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）
所以对称轴为x=1，A，E关于x=1对称，
所以E（3，0），
设对称轴与x轴的交点为F，
所以四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE，
=
==9；

（3）相似．
如图，作BG⊥DF，
BD=，
BE=，
DE=，
所以BD2+BE2=20，DE2=20，
即：BD2+BE2=DE2，所以△BDE是直角三角形，
所以∠AOB=∠DBE=90°，且，
所以△AOB∽△DBE．