Question

对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，记其面积为S₁；第二次操作，分别延长A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁至点A₂、B₂、C₂，使得A₂B₁=2A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁A₁，顺次连接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂，记其面积为S₂；…；按此规律继续下去，可得到△A_nB_nC_n．
（1）求面积S₁；（2）求面积S_n．

Answer

（1）首先根据题意，求得S△ABC1=2S△ABC，同理求得S△A1B1C1=19S△ABC，则可求得面积S1的值；
（2）根据题意发现规律：Sn=19nS即可求得答案．
【解析】
连BC1，
∵C1A=2CA，
∴S△ABC1=2S△ABC，
同理：S△A1BC1=2S△ABC1=4S△ABC，
∴S△A1AC1=6S△ABC，
同理：S△A1BB1=S△CB1C1=6S△ABC，
∴S△A1B1C1=19S△ABC，
即S1=19S，
∵S=S△ABC=1，
∴S1=19；

（2）同理，S2=19S1=192S，S3=193S，
∴Sn=19nS=19n．