Question

如图所示，两个同样大小的等边△ABC和△ACD，边长为12，它们拼成一个菱形ABCD，另一个足够大等边△AEF绕点A旋转，AE与BC相交于点M，AF与CD相交于点N．
（1）判断AM与AN是否相等，并简要说明理由；
（2）求四边形AMCN的面积；
（3）探索△AMN何时面积最小，并求出这个最小面积．

Answer

（1）AM=AN，先证明△ACN≌△ABM，再根据全等三角形的对应边相等的性质得出答案；
（2）先证明S△ABC=S四边形AMCN，再用等量代换解答；
（3）根据两点间垂直距离最短解答；
（1）AM=AN．
证明：∵△ABC、△ACD、△AEF都是等边三角形，
∴∠BAE+∠EAC=∠CAN+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAN．
又∵AB=AC，∠B=∠ACN，
∴△ACN≌△ABM，
∴AM=AN．

（2）【解析】
由（1）得，△ACN≌△ABM，
∴S△ABM+S△AMC=S△ACN+S△AMC=S四边形AMCN，
又∵S△ABM+S△AMC=S△ABC=×12×12×sin60°=36，
∴S△ABC=S四边形AMCN=36，
∴四边形AMCN的面积是36．

（3）【解析】
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF=60°，
∴S△AMN=AN•AM•sin60°，
∴只要AN、AM取最小值，S△AMN就最小，
∵两点间的垂直距离最短，
∴当AN⊥CD、AM⊥BC时，△AMN面积最小．
在△ABM中，AM=12×sin60°=6，
在△ANC中，AN=12×sin60°=6，
∴S△AMN=27，
∴当AN⊥CD、AM⊥BC时，△AMN面积最小，△AMN的最小面积是27．