Question

已知实数a，b满足a²+b²=1，则a⁴+ab+b⁴的最小值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．

Answer

利用完全平方公式把a4+ab+b4配成关于ab的二次三项式，再根据平方数非负数（a-b）2=a2-2ab+b2求出ab的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解析】
∵（a-b）2=a2-2ab+b2≥0，
∴2|ab|≤a2+b2=1，
∴-≤ab≤，
令y=a4+ab+b4=（a2+b2）2-2a2b2+ab=-2a2b2+ab+1=-2（ab-）2+，
当-≤ab≤时，y随ab的增大而增大，
当≤ab≤时，y随ab的增大而减小，
故当ab=-时，a4+ab+b4的最小值，为-2（--）2+=-2×+=0，
即a4+ab+b4的最小值为0，当且仅当|a|=|b|时，ab=-，此时a=-，b=，或 a=，b=-．
故选B．