Question

使得5×2^m+1是完全平方数的整数m的个数为    ．

Answer

由5×2m+1是完全平方数，可设5×2m+1=n2 （其中n为正整数），可得5×2m=n2-1=（n+1）（n-1），即可得n为奇数，然后设n=2k-1（其中k是正整数），即可得方程组 或 或，解方程组即可求得答案．
【解析】
设5×2m+1=n2 （其中n为正整数），
则5×2m=n2-1=（n+1）（n-1），
∵5×2m是偶数，
∴n为奇数，
设n=2k-1（其中k是正整数），
则5×2m=4k（k-1），
即5×2m-2=k（k-1）．
显然k＞1，
∵k和k-1互质，
∴或 或，
解得：k=5，m=4．
因此，满足要求的整数m只有1个．
故答案为：1．