Question

（1）如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC．
（2）如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APC=120°，证明：PA+PD+PC≥BD．

Answer

（1）要证BC+DC=AC，延长BC到E，使CE=CD，则求AC=BE即可．由AB=AD，∠ABD=60°，连接BD后得△ABD是等边三角形，进而得∠ADB=60°，AD=BD，又有，∠BCD=120°，则△DCE是等边三角形，所以得△ACD≌△BDE，则AC=BE=BC+CD．
（2）由题（1）的结论则PB=QC=PA+PC，在△PDB中，PB+PD≥BD，即PA+PC+PD≥BD，
（1）证明：连接BD，延长BC到点E，使CE=CD，连接DE
∵AB=AD，∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，AD=BD，
又∵∠BCD=120°CE=CD，
∴∠DCE=180°-∠BCD=60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠CDE=∠ADB=60°，DC=DE，
∴∠ADC=∠BDE，
又∵AD=BD，
∴△ACD≌△BDE，
∴AC=BE=BC+CE，
即AC=BC+CD．

（2）把线段AP绕点A逆时针旋转60度，到AQ．连接AC、PQ，
∴AP=AQ，△APQ为正三角形，
∴∠QAP=60°，QP=AP，
又∵∠APC=120°，
∴∠APC+∠APQ=180°，则C，P，Q在同一条直线上．
∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC为正三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴∠ABC+∠PAC=∠QAP+∠PAC，即∠QAC=∠PAB，
△ABP≌△ACQ（SAS），
PB=QC=PA+PC，
在△PDB中，PB+PD≥BD，即PA+PC+PD≥BD．