Question

如图，锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D和E，AP∥BC且与BE的延长线交于P，又边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-x+（4m²-4m+2）=0的两个根
（1）求m的值；
（2）若AF：FD=2，那么点A、C是否关于直线BE对称？请说明理由，并求AP的值．

Answer

（1）由判别式及非负数的性质可求m的值；
（2）由AB=AC，AD⊥BC可知BD=CD，由AP∥BC，AF：FD=2，得△AFP∽△DFB，利用相似比得AP=2BD=BC，连接CP，证明四边形ABCP为平行四边形，可得AE=EC，证明结论，可以得出此时△ABC为等边三角形，故AP=BC=AB．
【解析】
（1）∵△=（-1）2-4×（4m2-4m+2）=-（2m-1）2≥0，
∴2m-1=0，解得m=；

（2）当m=时，原方程两根相等，即AB=AC=，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
又∵AP∥BC，AF：FD=2，
∴△AFP∽△DFB，
∴==2，
∴AP=2BD=BC，
连接CP，则PA平行且等于BC，
∴四边形ABCP为平行四边形，
∴AE=EC，
即点A、C关于直线BE对称，
∵BE垂直平分AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AP=BC=AB=．