Question

已知一个二次函数的图象经过A（-1，0）、B（0，3）、C（4，-5）三点．
（1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点D的坐标；
（2）这个函数的图象与x轴有两个交点，除点A外的另一个交点设为E，点O为坐标原点．在△AOB、△BOE、△ABE和△BDE着四个三角形中，是否有相似三角形？如果有，指出哪几对三角形相似，并加以证明；如果没有，要说明理由．

Answer

（1）使用代入法可求解二次函数的解析式．
（2）在坐标轴上每一点的坐标都是已知，则可根据两点间的距离公式求得每一线段的长，若在两三角形中，三边对应成比例，而这两三角形相似，可推得△AOB∽△DBE．
【解析】
（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．
根据题意，得，
解得a=-1，b=2，c=3．
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3．
由y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
得顶点D的坐标为（1，4）
答：顶点D的坐标为（1，4）；

（2）在直角坐标平面内画出图形．
△AOB∽△DBE，
∵OA=1，OB=3，AB=，BD=，BE=3，DE=．
得===．
∴△AOB∽△DBE．