Question

某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE=MN．准备在形如Rt△MEH的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt△AEH的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：

品  种	红色花草	黄色花草	紫色花草
价格（元/米^2）	60	80	120

设AE的长为x米，正方形EFGH的面积为S平方米，买花草所需的费用为W元，解答下列问题：
（1）S与x之间的函数关系式为S=______；
（2）求W与x之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；
（3）当买花草所需的费用最低时，求EM的长．

Answer

（1）依题意可知S=EH2，又EH2=AE2+AH2，代入数据可得S=x2+（4-x）2
（2）由二次函数的性质，通过配方的方法求得最大值
（3）根据相关关系列出方程，解方程即可得出答案
【解析】
（1）由分析（1）可得答案
S=x2+（4-x）2或2x2-8x+16．（2分）

（2）W=60×4S△AEH+80（S正方形EFGN-S正方形MNPQ）+120S正方形MNPQ
=60×4×x（4-x）+80[x2+（4-x）2-x2]+120x2（4分）
=80x2-160x+1280．（5分）
配方得W=80（x-1）2+1200．（6分）
∴当x=1时，W最小值=1200元．（7分）

（3）因为四个黄颜色的直角三角形全等，所以EM=QH，
设EM=a米，则MH=MQ+QH=MQ+EM=（a+1）米．
在Rt△EMH中，a2+（a+1）2=12+32，
解得∵a＞0
∴
∴EM的长为米．（10分）