Question

如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）若MN的延长线交正方形外角平分线CP于点P，当点M在BC边上如图位置时，请你在AB边上找到一点H，使得AH=MC，连接HM，进而判断AM与PM的大小关系，并说明理由；
（3）若BM=1，则梯形ABCN的面积为______；设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
（4）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时BM的值．

Answer

（1）要证三角形ABM和MCN相似，就需找出两组对应相等的角，已知了这两个三角形中一组对应角为直角，而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角，因此这两个角也相等，据此可得出两三角形相似．
（2）首先根据题意画出图形，易求得∠AHM=∠MCP=135°，∠2+∠3=∠1+∠2=45°，即可得∠1=∠3，然后利用ASA即可证得△AHM≌△MCP，证得AM=PM．
（3）根据（1）的相似三角形，可得出AB，BM，MC，NC的比例关系式，已知了AB=4，BM=x，可用BC和BM的长表示出CM，然后根据比例关系式求出CN的表达式．这样直角梯形的上下底和高都已得出，可根据梯形的面积公式得出关于y，x的函数关系式．然后可根据函数的性质得出y的最大值即四边形ABCN的面积的最大值，以及此时对应的x的值，也就可得出BM的长．
（4）已知了这两个三角形中相等的对应角是∠ABM和∠AMN，如果要想使Rt△ABM∽Rt△AMN，那么两组直角边就应该对应成比例，即AM：MN=AB：BM，根据（1）的相似三角形可得出AM：MN=AB：MC，因此BM=MC，M是BC的中点．即BM=2．
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠AMB+∠BAM=90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）AM=PM．
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，
∵AH=MC，
∴BH=BM，
∴∠BMH=∠BHM=45°，
∴∠AHM=135°，
∵AM⊥MN，
∴∠2+∠3+∠BMH=90°，
∴∠2+∠3=45°，
∵∠1+∠2=∠BHM=45°，
∴∠1=∠3，
∵CP是正方形外角平分线，
∴∠PCN=45°，
∴∠PCM=90°+45°=135°，
∴∠AHM=∠MCP，
在△AHM和△MCP中，
∵，
∴△AHM≌△MCP（ASA），
∴AM=PM；

（3）【解析】
∵正方形ABCD边长为4，BM=1，
∴CM=4-1=3，
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴，
即，
∴CN=，
∴S梯形ABCN=（AB+CN）•BC=×（4+）×4=；
∵正方形ABCD边长为4，BM=x，
∴CM=4-x，
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴，
即，
∴CN=，
∴y=S梯形ABCN=（AB+CN）•BC=×（4+）×4=-x2+2x+8=-（x-2）2+10，
∴当x=2时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为10；

（4）【解析】
∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须有，即，
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴，
∴BM=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，此时BM=2．