Question

如图，在平面直角坐标系，直线与x轴、y轴分别相交于A、D两点，点B在y轴上，现将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处．
（1）求BD的长．
（2）设点N是线段AD上的一个动点（与点A、D不重合），S_△NBD=S₁，S_△NOA=S₂，当点N运动到什么位置时，S₁•S₂的值等于90，并求出此时点N的坐标．
（3）在y轴上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，简述理由．

Answer

（1）先令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可得出A、B两点的坐标，由勾股定理求出AD的长度，再由图形翻折变换的性质即可得出AC及DC的长，由相似三角形的判定定理得出△DBC∽△DAO，由相似三角形的对应边成比例即可求出DB的长；
（2）设N（x，y），由三角形的面积公式即可用x、y表示出S1，S2的值，由S1•S2=90即可求出x的值，进而得出N点坐标；
（3）由于△MAC为直角三角形，所以∠MCA=90°或∠MAC=90°，需分情况讨论：
若∠MCA=90°则M与B重合，所以M（0，3）；若∠MAC=90°，则△AMD∽△OAD，再由相似三角形的对应边成比例即可得出DM的长，进而得出M点的坐标．
【解析】
（1）∵令y=0，得x=6；
令x=0，得y=8．
∴A（6，0），D（0，8）．
∴AD===10，
∵将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处，
∴AC=AO=6，DC=AD-AC=10-6=4．
∵∠D=∠D，∠DCB=∠O=90°，
∴△DBC∽△DAO．
∴DC：DO=DB：DA，即4：8=DB：10，
∴DB=5；

（2）如图1，设N（x，y）．
s1=×5•x=x，s2=×6•y=3y，
s1•s2=x•3y=xy=x•（-x+8）=-10x2+60x=90．
解得x=3，
则y=-（x-6）=4，
∴N（3，4）；

（3）如图2，∵△MAC为直角三角形，
∴∠MCA=90°或∠MAC=90°．
若∠MCA=90°，则M与B重合，
∵BD=5，
∴M（0，3）；
若∠MAC=90°，则△AMD∽△OAD，
∴DM：AD=AD：OD，
∴DM：10=10：8．
∴DM=12.5，OM=12.5-8=4.5，
∴M（0，-4.5），
综上所述，M点的坐标为M1（0，3），M2（0，-4.5）．