Question

如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论：①△BDF是等腰三角形；②DE=BC；③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A，其中一定正确的是（ ）

A．①③④
B．②③④
C．①②④
D．①②③

Answer

分别过点D、E作BC的垂线DG、EH；连接AF，由于折叠是轴对称图形知AF⊥DE，因为DE∥BC，所以AF⊥BC，且AM=MF，可以证明DE是△ABC的中位线．
由于折纸是轴对称图形知AD=DF，AE=EF，所以DA=DB=DF，可以证明①是等腰三角形；因DG∥AF∥EH，又因为DG是等腰三角形BDF的高，可证∠BDF=2∠DAM，同理∠CEF=2∠EAM，可证④正确；显然③四边形ADFE是菱形是错误的．
【解析】
分别过点D、E作BC的垂线DG、EH；连接AF，
∵折叠是轴对称图形，∴AF⊥DE，
∵DE∥BC，∴AF⊥BC，且AM=MF，
∴D、E分别是AB、AC的中点，
即；②DE=BC，正确．
∵AD=DF，AE=EF，
∴DA=DB=DF，∴①△BDF是等腰三角形，正确．
∵DG∥AF∥EH，∴∠BDG=∠DAM，
又∵DG是等腰三角形BDF的高，
∴∠BDF=2∠DAM，同理∠CEF=2∠EAM，
∴④∠BDF+∠FEC=2∠A；如图显然③四边形ADFE是菱形是错误的．
故选C．