Question

已知关于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若一元二次方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的两个实数根分别为x₁，x₂．且|x₁-x₂|=2，求m的值．

Answer

（1）根据一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根，所以只需证明△≥0即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，首先将|x1-x2|=2，变形得出两根之和与两根之差的形式，结合x1+x2=-，x1x2=，求出即可．
【解析】
（1）①当m=0时，原方程为x-2=0，
解得：x=2，
所以方程有实数根；
②当m≠0时，
∵△=b2-4ac
=[-（3m-1）]2-4m（2m-2），
=（3m-1）2-8m2+8m，
=9m2-6m+1-8m2+8m，
=m2+2m+1，
=（m+1）2；
∴△=（m+1）2≥0，
∴方程有实数根；
综上可知无论m取任何实数时，方程恒有实数根；

（2）∵一元二次方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0的两个实数根分别为x1，x2．
|x1-x2|=2，
∴x1+x2=-=，x1x2==；
∴（x1-x2）2=4，
∴x12+x22-2x1x2=4，
∴x12+x22+2x1x2-4x1x2=4，
∴（x1+x2）2-4x1x2=4，
∴（）2-4×=4，
∴整理得：-3m2+2m-1=0，
解得：m1=1，m2=-，
∴一元二次方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0的两个实数根分别为
x1，x2，且|x1-x2|=，m的值为1或-．