Question

已知：关于x的方程①x²-（m+2）x+m-2=0有两个符号不同的实数根x₁，x₂，且x₁＞|x₂|＞0；关于x的方程②mx²+（n-2）x+m²-3=0有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值．

Answer

首先对第一个方程进行分析，求出m的取值范围，然后通过第二个方程可知，求出m的值，再把m的值代入第二个方程，即得△=（n-2）2-8=k2，通过分析，得关于n和k的二元一次方程组，解方程组即可．
【解析】
由方程①知：
∵x1•x2＜0，x1＞|x2|＞0，
∴x1＞0，x2＜0，
∵△=（m-2）2+8＞0，
∴x1+x2=m+2＞0，x1•x2=m-2＜0，
∴-2＜m＜2，
由方程②知：，
∴m2-2m-3=0，
∴m=3（舍去），m=-1（2分）
代入②得：x2-（n-2）x+2=0，
∵方程的两根为有理数，
∴△=（n-2）2+8=k2，
∴△=（n-2）2-k2=-8，（n-2+k）（n-2-k）=-8，
∴或，
∴n=5或n=1．