Question

如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．

（1）点C的坐标是　    　，线段AD的长等于　    　；

（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x²+bx+c经过点G，M，求抛物线的解析式；

（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）（0，3）；4。

（2）

（3）抛物线上存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形。

【解析】

试题分析：（1）首先求出图象与x轴交于点A，与y轴交于点B的坐标，进而得出C点坐标以及线段AD的长：

∵与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴y=0时，x=﹣3，x=0时，y=1。

∴A点坐标为：（﹣3，0），B点坐标为：（0，1）。

∴OC=3，DO=1。

∴点C的坐标是（0，3），线段AD的长等于4。

（2）首先得出点M是CD的中点，即可得出M点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式。

∵CM=OM，∴∠OCM=∠COM。

∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，∴∠ODM=∠MOD。∴OM=MD=CM。

∴点M是CD的中点，∴点M的坐标为（，）。

∵抛物线y=x2+bx+c经过点C，M，

∴，解得：。

∴抛物线y=x2+bx+c的解析式为：。

（3）分别根据当点F在点C的左边时以及当点F在点C的右边时，分析四边形CFPE为菱形得出即可。

情形1：如图1，当点F在点C的左边时，四边形CFEP为菱形，

∴∠FCE=PCE。

由题意可知，OA=OC，∴∠ACO=∠PCE=45°。

∴∠FCP=90°。∴菱形CFEP为正方形。

过点P作PH⊥CE，垂足为H，

则Rt△CHP为等腰直角三角形。

∴CP=CH=PH。

设点P为（x，），则OH=，PH=x，

∵PH=CH=OC﹣OH，∴，解得：x1=， x2=0（舍去）。

∴CP=CH=。

∴菱形CFEP的周长l为：。

情形2：如图2，当点F在点C的右边时，四边形CFPE为菱形，

∴CF=PF，CE∥FP。

∵直线AC过点A（﹣3，0），点C（0，3），

∴直线AC的解析式为：y=x+3。

过点C作CM⊥PF，垂足为M，

则Rt△CMF为等腰直角三角形，CM=FM。

延长PF交x轴于点N，则PN⊥x轴，

∴PF=FN﹣PN。

设点P为（x，），则点F为（x，x+3），

∴。

∴，解得： ，x2=0（舍去）。

∴。

∴菱形CFEP的周长l为：）。

综上所述，这样的菱形存在，它的周长为或。