Question

如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．

（1）求证：CM=CN；

（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．

Answer

【解析】
（1）证明：由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC。∴∠ANM=∠CMN。

∴∠CMN=∠CNM。∴CM=CN。

（2）过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形。

∴HC=DN，NH=DC。

∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，

∴。

∴MC=3ND=3HC。∴MH=2HC。

设DN=x，则HC=x，MH=2x，∴CM=3x=CN。

在Rt△CDN中，，∴HN=。

在Rt△MNH中，，∴。

【解析】

试题分析：（1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，由四边形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，则可证得∠CMN=∠CNM，继而可得CM=CN。

（2）首先过点N作NH⊥BC于点H，由△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，易得MC=3ND=3HC，然后设DN=x，由勾股定理，可求得MN的长，继而求得答案。