Question

如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标；

（3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．

Answer

【解析】
（1）∵矩形ABCD，B（5，3），∴A（5，0），C（0，3）。

∵点A（5，0），C（0，3）在抛物线上，

∴，解得：。

∴抛物线的解析式为：。

（2）∵，

∴抛物线的对称轴为直线x=3。

如答图1所示，设对称轴与BD交于点G，与x轴交于点H，则H（3，0）。

令y=0，即，解得x=1或x=5。

∴D（1，0）。∴DH=2，AH=2，AD=4。

∵，∴GH=DH•tan∠ADB=2×=。

∴G（3，）。

∵S△MBD=6，即S△MDG+S△MBG=6，∴MG•DH+MG•AH=6，即： MG×2+MG×2=6。

解得：MG=3。

∴点M的坐标为（3，）或（3，）。

（3）在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，则BD=5，∴sinB=，cosB=。

以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，则：

①若PD=PQ，如答图2所示，

此时有PD=PQ=BQ=t，过点Q作QE⊥BD于点E，

则BE=PE，BE=BQ•cosB=t，QE=BQ•sinB=t，

∴DE=t+t=t。

由勾股定理得：DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2，

即（t）2+（t）2=42+（3﹣t）2，整理得：11t2+6t﹣25=0，

解得：t=或t=﹣5（舍去）。

∴t=。

②若PD=DQ，如答图3所示，

此时PD=t，DQ=AB+AD﹣t=7﹣t，

∴t=7﹣t。∴t=。

③若PQ=DQ，如答图4所示，

∵PD=t，∴BP=5﹣t。

∵DQ=7﹣t，∴PQ=7﹣t，AQ=4﹣（7﹣t）=t﹣3。

过点P作PF⊥AB于点F，

则PF=PB•sinB=（5﹣t）×=4﹣t，BF=PB•cosB=（5﹣t）×=3﹣t。

∴AF=AB﹣BF=3﹣（3﹣t）=t。

过点P作PE⊥AD于点E，则PEAF为矩形，

∴PE=AF=t，AE=PF=4﹣t。∴EQ=AQ﹣AE=（t﹣3）﹣（4﹣t）=t﹣7。

在Rt△PQE中，由勾股定理得：EQ2+PE2=PQ2，即：（t﹣7）2+（t）2=（7﹣t）2，

整理得：13t2﹣56t=0，解得：t=0（舍去）或t=。

∴t=。

综上所述，当t=或t=或t=时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形。

【解析】

试题分析：（1）求出点A、C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。

（2）如答图1所示，关键是求出MG的长度，利用面积公式解决；注意，符合条件的点M有2个，不要漏解。

（3）△DPQ为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论：

①若PD=PQ，如答图2所示；②若PD=DQ，如答图3所示；③若PQ=DQ，如答图4所示。