Question

如图，AB，CD是⊙O的直径，点E在AB延长线上，FE⊥AB，BE=EF=2，FE的延长线交CD延长线于点G，DG=GE=3，连接FD．

（1）求⊙O的半径；

（2）求证：DF是⊙O的切线．

Answer

【解析】
（1）设⊙O半径为R，则OD=OB=R，

在Rt△OEG中，∠OEG=90°，由勾股定理得：OG2=OE2+EG2，

∴（R+3）2=（R+2）2+32，R=2，即⊙O半径是2。

（2）证明：∵OB=OD=2，∴OG=2+3=5，GF=2+3=5=OG，

∵在△FDG和△OEG中，FG=OG，∠G=∠G，EG=DG，

∴△FDG≌△OEG（SAS）。∴∠FDG=∠OEG=90°。

∴∠ODF=90°，∴OD⊥DF。

∵OD为半径，∴DF是⊙O的切线。

【解析】

试题分析：（1）充⊙O半径OD=OB=R，在Rt△OEG中，∠OEG=90°，由勾股定理得出方程（R+3）2=（R+2）2+32，求出即可。

（2）证△FDG≌△OEG，推出∠FDG=∠OEG=90°，求出OD⊥DF，根据切线的判定推出即可。