Question

已知：如图，在ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2。

（l）若CF=2，AE=3，求BE的长；

（2）求证：。

Answer

【解析】
（1）∵CF=2，点F为CE的中点，∴CE=4。

∵CE=CD，∴CD=4。

∵四边ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4。

∵ AE⊥BC，AE=3，∴。

（2）如图，过点GH∥BC交AE于点H，则∠CEG=∠EGH。

∵∠1=∠2，∠C=∠C，CE=CD，

∴△CEG≌△CDF（AAS）。∴CG=CF。

∵点F为CE的中点，∴点G为CD的中点。

∴点H为AE的中点，即GH是AE的垂直平分线。

∴GA=GE。∴∠EGH=∠AGH。

∴。

【解析】（1）根据平行四边形对边相等的性质，由已知，经过等量代换得到直角三角形ABE的AB长，从而由已知的AE长，应用勾股定理可求得BE的长。

（2）过点GH∥BC交AE于点H，则∠CEG=∠EGH，通过△CEG≌△CDF得到点G为CD的中点，从而确定GH是AE的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得到GA=GE，进而根据等腰三角形三线合一的性质，得∠EGH=∠AGH，从而得证。