Question

已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF。如图1，现有一张硬纸片△GMN，∠NGM=90⁰，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上。如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ。当点N到达终点B时，△GMNP和点同时停止运动。设运动时间为t秒，解答问题：

（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；

（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围。

Answer

【解析】
（1）∵∠NGM=900，NG=6，MG=8，，

∴由勾股定理，得NM=10。

当点G在线段AE上时，如图，

此时，GG′=MN=10。

∵△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，

∴t=10秒。

（2）存在。

由矩形ABCD中，AB=12，BE=16，得AE=20。

①当0＜t≤10时，线段GN与线段AE相交，如图，过点Q作QH⊥BC于点H，QI⊥AB于点I，过点P作PJ⊥IJ于点J。

根据题意，知AP=EN=t，

由△QNE∽△GNM得，即，∴。

由△QHE∽△NGM得，即，

∴。

∴。

若AP=AQ，则，解得，不存在；

若AP=PQ，则，△＜0，无解，不存在；

若AQ=PQ，则，无正数解，不存在。

②当10＜t≤16时，线段GN的延长线与线段AE相交，如图，过点Q作QH⊥BC于点H，QI⊥AB于点I，过点P作PJ⊥IJ于点J。

同上，AP=EN=t，

由△QNE∽△GNM得，即，∴。

由△QHE∽△NGM得，即，

∴。

∴。

若AP=AQ，则，解得。

若AP=PQ，则，△＜0，无解，不存在；

若AQ=PQ，则，无正数解，不存在。

综上所述，存在，使△APQ是等腰三角形。

（3）S与t的函数关系式为。

【解析】（1）由勾股定理，求出MN的长，点Q运动到AE上时的距离MN的长，离从而除以速度即得t的值。

（2）分0＜t≤10和10＜t≤16两种情况讨论，每种情况分AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ三种情况讨论。

（3）当0＜t≤7时，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于△QNE的面积，

由（2）①，EN=t，，∴。

当7＜t≤10时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形QIFE的面积，它等于△NQE的面积减去△NIF的面积。

由（2）①，EN=t，，∴。

过点I 作IJ⊥BC于点J，

∵EF=7，EN=t，∴。

由△FJI∽△FBA得，即。

由△INJ∽△MNG得，即。

二式相加，得。∴

∴。

当10＜t≤时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形GIFM的面积，它等于△GMN的面积减去△INF的面积。

过点I 作IH⊥BC于点H，

∵EF=7，EN=t，∴。

由△FHG∽△FBA得，即。

由△INH∽△MNG得，即。

二式相加，得。∴。

∴。

当＜t≤16时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于△IFM的面积。

∵，

  （同上可得），

∴。

综上所述，。