Question

在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．

（1）写出这个二次函数的对称轴；

（2）设这个二次函数的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AD、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式。

[提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A，那么它的表达式可表示为：]

Answer

【解析】
（1）对称轴为直线：x=2。

（2）∵A（1，0）、B（3，0），∴设这个二次函数的表达式。

当x=0时，y=3a，当x=2时，y=。

∴C（0，3a），D(2,－a)，∴OC=|3a|。

∵A（1，0）、E（2，0），∴OA=1,EB=1,DE=}-a|=|a|。

在△AOC与△DEB中，

∵∠AOC=∠DEB=90°，∴当时，△AOC∽△DEB。

∴时，解得或。

当时，△AOC∽△BED，

∴时，此方程无解。

综上所述，所求二次函数的表达式为：或，即

或。

【解析】（1）由抛物线的轴对称性可知，与x轴的两个交点关于对称轴对称，易求出对称轴。

（2）由提示中可以设出函数的解析式，将顶点D与E的坐标表示出来，从而将两个三角形的边长表示出来，而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题。