Question

问题探究

（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；

（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.

问题解决

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=，CD=，且，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.

Answer

【解析】
（1）如图①所示：

图①

（2）如图②，连接AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作用OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点，则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分。

图②

理由如下：

∵点O是正方形ABCD对角线的交点，∴点O是正方形ABCD的对称中心。

∴AP=CQ，EB=DF。

在△AOP和△EOB中，

∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，∴∠AOP=∠BOE。

∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，∴△AOP≌△EOB（ASA）。∴AP=BE=DF=CQ 。∴AE=BQ=CF=PD。

设点O到正方形ABCD一边的距离为。

∴

∴。

∴直线EF、PQ将正方形ABCD面积四等分。

 （3）存在。当BQ=CD=时，PQ将四边形ABCD面积二等分。

理由如下：

如图③，延长BA至点E，使AE=，延长CD至点F，使DF=，连接EF。

图③

∴BE∥CF，BE=CF。 ∴四边形BCFE为平行四边形。

∵BC=BE=+，∴平行四边形DBFE为菱形。

连接BF交AD于点M，则△MAB≌△MDF。

∴AM=DM，即点P、M重合。

∴点P是菱形EBCF对角线的交点。

在BC上截取BQ=CD=，则CQ=AB=。

设点P到菱形EBCF一边的距离为，

∴。

∴当BQ=时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分。

【解析】（1）圆内两条互相垂直的直径即达到目的。

（2）连接AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作用OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点，则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分。可应用△AOP≌△EOB得出结论。

（3）把原图补充成菱形，应用菱形的性质求解。