Question

如图，正方形AOCB在平面直角坐标系中，点O为原点，点B在反比例函数（＞）图象上，△BOC的面积为．

（1）求反比例函数的关系式；

（2）若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动，同时动点F 从B开始沿BC向C以每秒个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．若运动时间用t表示，△BEF的面积用表示，求出S关于t的函数关系式，并求出当运动时间t取何值时，△BEF的面积最大？

（3）当运动时间为秒时，在坐标轴上是否存在点P，使△PEF的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）∵四边形AOCB为正方形 ，∴AB=BC=OC=OA。

设点B坐标为（，），

∵，∴，解得。

又∵点B在第一象限，∴点B坐标为（4，4）。

将点B（4，4）代入得，

∴反比例函数解析式为。

（2）∵运动时间为t，动点E的速度为每秒1个单位，点F 的速度为每秒2个单位，

∴AE=t， BF。

∵AB=4，∴BE=。

∴。

∴S关于t的函数关系式为；当时，△BEF的面积最大。

（3）存在。

当时，点E的坐标为（，4），点F的坐标为（4，），

①作F点关于轴的对称点F1，得F1（4，），经过点E、F1作直线，

由E，4），F1（4，）可得直线EF1的解析式是，

当时，，∴P点的坐标为（，0）。

②作E点关于轴的对称点E1，得E1（，4），经过点E1、F作直线，

由E1（，4），F（4，）可得直线E1F的解析式是，

当时，，∴P点的坐标为（0，）。

综上所述，P点的坐标分别为（，0）或（0，）。

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质和△BOC的面积为，列式求出点B的坐标，代入，即可求得k，从而求得反比例函数的关系式。

（2）根据双动点的运动时间和速度表示出BF和BE，即可求得S关于t的函数关系式，化为顶点式即可根据二次函数的最值原理求得△BEF的面积最大时t的值。

（3）根据轴对称的原理，分F点关于轴的对称点F1和E点关于轴的对称点E1两种情况讨论。