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已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-4,3)、B(2,0)两点,当x=3和x...

已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-4,3)、B(2,0)两点,当x=3和x=-3时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C(0,-2)的直线l与x轴平行,O为坐标原点.
(1)求直线AB和这条抛物线的解析式;
(2)以A为圆心,AO为半径的圆记为⊙A,判断直线l与⊙A的位置关系,并说明理由;
(3)设直线AB上的点D的横坐标为-1,P(m,n)是抛物线y=ax2+bx+c上的动点,当△PDO的周长最小时,求四边形CODP的面积.

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(1)用待定系数法即可求出直线AB的解析式;根据“当x=3和x=-3时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等”可知:抛物线的对称轴为y轴,然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式; (2)根据A点坐标可求出半径OA的长,然后判断A到直线l的距离与半径OA的大小关系即可; (3)根据直线AB的解析式可求出D点的坐标,即可得到OD的长,由于OD的长为定值,若△POD的周长最小,那么PD+OP的长最小,可过P作y轴的平行线,交直线l于M;首先证PO=PM,此时PD+OP=PD+PM,而PD+PM≥DM,因此PD+PM最小时,应有PD+PM=DM,即D、P、M三点共线,由此可求得P点的坐标;此时四边形CODP是梯形,根据C、O、D、P四点坐标即可求得上下底DP、OC的长,而梯形的高为D点横坐标的绝对值由此可求出四边形CODP的面积. 【解析】 (1)设直线AB的解析式为y=kx+b,则有: , 解得; ∴直线AB的解析式为y=-x+1; 由题意知:抛物线的对称轴为y轴,则抛物线经过(-4,3),(2,0),(-2,0)三点; 设抛物线的解析式为:y=a(x-2)(x+2), 则有:3=a(-4-2)(-4+2),a=; ∴抛物线的解析式为:y=x2-1; (2)易知:A(-4,3),则OA==5; 而A到直线l的距离为:3-(-2)=5; 所以⊙A的半径等于圆心A到直线l的距离, 即直线l与⊙A相切; (3)过D点作DM∥y轴交直线于点M交抛物线于点P, 则P(m,n),M(m,-2); ∴PO2=m2+n2,PM2=(n+2)2; ∵n=m2-1,即m2=4n+4; ∴PO2=n2+4n+4=(n+2)2, 即PO2=PM2,PO=PM; 易知D(-1,),则OD的长为定值; 若△PDO的周长最小,则PO+PD的值最小; ∵PO+PD=PD+PM≥DM, ∴PD+PO的最小值为DM, 即当D、P、M三点共线时PD+PM=PO+PD=DM; 此时点P的横坐标为-1,代入抛物线的解析式可得y=-1=-, 即P(-1,-); ∴S四边形CPDO=(CO+PD)×|xD|=×(2++)×1=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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