如图,在矩形OABC中,已知A、C两点的坐标分别为A(4,0)、C(0,2),D为OA的中点.设点P是∠AOC平分线上的一个动点(不与点O重合).
(1)试证明:无论点P运动到何处,PC总与PD相等;
(2)当点P运动到与点B的距离最小时,试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式;
(3)设点E是(2)中所确定抛物线的顶点,当点P运动到何处时,△PDE的周长最小?求出此时点P的坐标和△PDE的周长;
(4)设点N是矩形OABC的对称中心,是否存在点P,使∠CPN=90°?若存在,请直接写出点P的坐标.
考点分析:
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如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(-1,0),B(0,
),O(0,0),将此三角板绕原点O顺时针旋转90°,得到△A′B′O.
(1)如图,一抛物线经过点A,B,B′,求该抛物线解析式;
(2)设点P是在第一象限内抛物线上一动点,求使四边形PBAB′的面积达到最大时点P的坐标及面积的最大值.
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如图,抛物线y=ax
2+bx-4a经过A(-1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.
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已知OABC是一张矩形纸片,AB=6.
(1)如图1,在AB上取一点M,使得△CBM与△CB′M关于CM所在直线对称,点B′恰好在边OA上,且△OB′C的面积为24cm
2,求BC的长;
(2)如图2.以O为原点,OA、OC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.求对称轴CM所在直线的函数关系式;
(3)作B′G∥AB交CM于点G,若抛物线y=
x
2+m过点G,求这条抛物线所对应的函数关系式.
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如图,抛物线与x轴交于A(x
1,0),B(x
2,0)两点,且x
1>x
2,与y轴交于点C(0,4),其中x
1,x
2是方程x
2-2x-8=0的两个根.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)点P是线段AB上的动点,过点P作PE∥AC,交BC于点E,连接CP,当△CPE的面积最大时,求点P的坐标;
(3)探究:若点Q是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Q,使△QBC成为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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已知:如图一次函数y=
x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y=
x
2+bx+c的图象与一次函数y=
x+1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,0).
(1)求二次函数的解析式;
(2)求四边形BDEC的面积S;
(3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由.
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