Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点E．若AE=4，CE=8，DE=3，梯形ABCD的高是，面积是54．求证：AC⊥BD．

Answer

证明见解析.

【解析】

试题分析：由AD∥BC，可证明△EAD∽△ECB，利用相似三角形的性质即可求出BE的长，过D作DF∥AC交BC延长线于F，则四边形ACFD是平行四边形，所以CF=AD，再根据勾股定理的逆定理证明BD⊥DF即可证明AC⊥BD.

试题解析：∵AD∥BC，∴△EAD∽△ECB. ∴AE：CE=DE：BE.

∵AE=4，CE=8，DE=3，∴BE=6.

∵S梯形=（AD+BC）×=54，∴AD+BC=15.

过D作DF∥AC交BC延长线于F，则四边形ACFD是平行四边形，

∴CF=AD. ∴BF=AD+BC=15.

在△BDF中，BD2+DF2=92+122=225，BF2=225，∴BD2+DF2=BF2. ∴BD⊥DF.

∵AC∥DF，∴AC⊥BD.

考点：1.梯形的性质；2.相似三角形的判定和性质；3.平行四边形的判定和性质；4.勾股定理的逆定理.